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로체스터대학교


석사논문


E균형과 L균형

담당교수: 황 수 익 선생님
제출일: 1994년 1학기
제출자: 서 창 녕



1. 논의의 전제 | 2. E균형 | 3. L균형 | 4. E균형과 L균형의 비교 | 5. 이 논의의 함의 | <부록> 뷰캐넌의 클럽이론

#. 빅셀(Knut Wicksell)과 린달(Erik Lindahl)은 만장일치 방법에 의한 집단적 의사결정과정은 그 결정에 참여하는 모든 개인들에게 이득을 가져다준다는 이론을 제시하였다. 다시 말해 집단선택의 결과로 공공재(公共財)가 공급되면 그 혜택이 구성원 모두에게 돌아간다는 것이다.



1. 논의의 전제


▷ 공공재 공급에서 고려해야 할 점은 두 가지이다.

첫째, 얼마만큼의 공공재를 공급할 것인가? 이것은 공급될 공공재의 양을 결정하는 문제로서, 변수 G로 나타낸다. G는 0보다 큰 양의 값을 가진다(G≥0).

둘째, 공공재 공급에 필요한 비용은 어떻게 부담할 것인가 하는 문제로서, 이것은 공공재 공급을 위해 각 개인이 부담해야 할 조세의 분담비율 t로 나타낸다. t는 0 이상 1 이하의 값을 가진다(0≤t≤1).

▷ 그러면, 공공재의 양 G와 조세분담율 t는 어떻게 결정되어야 하는가?

① E균형 : Wicksell은 공공재는 분리과세에 의해 조달되어야 하고, 그 결정은 만장일치 원칙(unanimity rule)에 따라야 한다고 제안하였다. 각 개인이 희망하는 공공재의 양과 조세분담율의 조합 (G, t)에 대해 모두가 동의할 때까지 투표를 계속하면, 언젠가는 균형점 E에 도달할 것이라는 생각이다. 일단 균형점에 도달하면 이 점은 파레토최적상태, 즉 다른 사람의 이익을 침해함이 없이는 자신의 이익을 더 이상 크게 할 수 없는 상태가 된다.

② L균형 : Lindahl은 공공재도 사적 재화나 용역과 마찬가지로, 조세분담율 t가 주어지면 효용극대화를 추구하는 각 개인의 자율적 행위에 의해 만장일치로 동의하는 균형점 L에 도달할 수 있다고 주장하였다. 마치 시장에서 가격이 주어지면 소비자는 효용극대화를 추구하고 생산자는 이윤극대화를 추구함으로써 결과적으로 적절한 생산량(=소비량)이 결정되는 것과 마찬가지로, 각 개인에게 조세분담율 t가 미리 주어지면 각 개인들의 효용극대화 행위에 의해 공공재의 양이 결정될 수 있다는 생각이다. 이 때 도달한 (G, t)의 조합을 린달균형점이라고 하는데, 이 점은 파레토최적점이다.

▷ 위의 두 이론을 보다 쉽게 이해하기 위해, 단지 두 명의 의사결정자(A와 B)와 하나의 공공재 G가 존재하는 세상을 가정하고, 그래프와 수식을 사용해 균형점을 도출해 보자.

단, ①A와 B의 힘은 동등하고(따라서 한 사람이 다른 사람에게 자신의 의사를 일방적으로 강요하는 경우는 고려하지 않는다), ②두 사람의 소득수준 YA와 YB는 단기적으로 고정되어 있고(따라서 상수로 취급한다), ③두 사람이 사적 재화 X와 공공재 G를 소비함으로써 얻게 되는 효용 UA, UB를 서수적으로 측정할 수 있다고 가정한다.



2. E균형


(1) A와 B의 효용함수

의사결정자 A와 B는 주어진 소득수준 Y에서 일정액은 공공재 G를 구매하는 데 사용하고 나머지는 사용재(私用財) X를 구매하는 데 사용할 것이다. A와 B의 소득수준은 개인별로 다를 수 있으므로 YA, YB로 나타내고, 사용재(私用財) 구매량 역시 다를 수 있으므로 XA, XB로 나타낸다. 그러나 공공재는 그 특성상 결합공급(jointness of supply)되기 때문에, 공공재에 대한 A의 구매량과 B의 구매량은 항상 동일하고, 그것은 전체 공공재의 양과 동일하다(GA=GB=G). 따라서 공공재의 양은 GA와 GB를 구별하지 않고 G로 나타낸다.

공공재 G를 공급하는 데 드는 비용은 A와 B가 일정한 비율로 분담하게 된다. 만약 A가 t만큼의 조세부담율을 진다면, B는 (1-t)만큼의 조세부담율을 지게 될 것이다. 따라서, G=tG+(1-t)G라는 등식이 성립한다. 여기서 tG는 A의 조세부담액, (1-t)G는 B의 조세부담액이 된다.

이제 주어진 소득수준 YA, YB에서 A와 B의 예산제약식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

YA = XA+tG

YB = XB+(1-t)G <식 2-1>

이 식을 사적 재화 X에 대해 다시 쓰면 다음과 같다.

XA = YA-tG

XB = YB-(1-t)G <식 2-2>

이제 효용함수를 구해 보자. 일반적으로 효용함수(utility function)는 소비자가 각 재화의 조합을 소비함으로써 얻게 되는 효용의 크기를 서수적으로 표시한 함수이다. 효용함수를 U로 표시하고 각 재화의 양을 X1, X2, …, Xn으로 표시하면, U=U(X1, X2, …, Xn)이다. 이 함수의 독립변수는 각 재화의 양이고, 종속변수는 효용의 크기 U이다.
따라서 A와 B의 효용함수는 다음과 같이 표시할 수 있다.

UA = UA(XA, G)

UB = UB(XB, G) <식 2-3>

이제 위의 식 <2-2>와 <2-3>으로부터 다음 식이 성립한다.

UA = UA(YA-tG, G)

UB = UB(YB-(1-t)G, G) <식 2-4>

이 때 소득수준 Y는 상수이므로, 효용함수 U는 공공재 G와 조세분담율 t의 함수가 된다. G와 t를 기준으로 하는 새로운 효용함수 U*를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

U*A = U*A(t, G)

U*B = U*B(1-t, G) <식 2-5>

결국 효용 U는 공공재의 양 G와 조세분담율 t의 함수로 나타낼 수 있다.

그러면 효용의 크기를 비교하는 방법을 알아보자. 여기서 주의할 점은 효용함수가 기수(基數)가 아니라 서수(序數)로 정의되었다는 사실이다. 따라서 각 행위자가 느끼는 주관적 효용을 정확한 수치로 나타내어 계산할 수 없다. 또한 A의 주관적 효용을 B의 효용과 직접적으로 비교, 계산할 수도 없다. 다만, 한 개인의 효용의 상대적 크기를 서로 비교할 수 있을 뿐이다.

만약 어떤 소비자가 두 재화의 조합 (X1, Y1)에서 얻게 되는 효용 U1이 (X2, Y2)에서 얻게 되는 효용 U2보다 더 크다면, 이것을 U1≫U2로 표시하기로 하자. 그 반대의 경우는 U1≪U2로 나타낼 수 있다. 그리고 두 효용의 크기가 서로 같다(이것을 다른 말로 표현하면 '무차별하다')면, U1≡U2로 나타내기로 하자.

U1 = U(X1, Y1)

U2 = U(X2, Y2) <식 2-6>

위의 식에서 X1<X2이고 Y1=Y2라면, U1≪U2라고 할 수 있다. 다시 말해 재화 Y의 양은 동일하게 유지되면서 X재의 양이 X1에서 X2로 증가하면, 그에 따라 효용 U도 U1에서 U2로 증가한다. 반대로 X1=X2이고 Y1<Y2인 경우에도 U1≪U2라고 할 수 있다. 마찬가지로 X1<X2이고 Y1<Y2인 경우, 즉 두 재화의 양이 모두 증가하는 경우에도 당연히 U1≪U2라고 할 수 있다. 그러나 X1<X2이고 Y1>Y2인 경우, 혹은 X1>X2이고 Y1<Y2인 경우에는 U1과 U2의 크기를 비교하기 어렵다.

(2) 무차별곡선

무차별곡선(indifference curve)이란 동일한 효용수준을 나타내는 점들을 연결한 선이다. 따라서 무차별곡선상의 어떠한 점도 소비자에게 동일한 효용을 가져다준다.

한 명의 소비자 A와 두 재화 X와 Y가 존재하는 세상을 가정해 보자. 그러면 A의 효용함수는 UA=UA(X, Y)이고, 이 때 무차별곡선의 형태는 <그림 2-1>과 같다.

무차별곡선은 다음의 세 가지 기본적 성질을 가진다.

첫째, 무차별곡선은 右下向한다. 효용 UA를 일정하게 유지하면서 X재의 소비량을 증가시키려면 Y재의 소비량을 감소시켜야 한다. 그래야만 동일한 효용을 유지할 수 있다. 따라서 X와 Y는 반비례관계에 있다. 그래프에서 한 점 (X1, Y1)에서 얻는 효용이 U1일 때, X재의 소비량을 X2로 증가시키면서도 효용의 증가는 막으려면 Y재의 소비량을 Y2로 감소시켜야 한다.

둘째, 무차별곡선은 원점에 대하여 볼록하다. 예를 들어 철수가 사과 2개와 배 10개를 먹는 경우를 생각해 보자. 어떤 과일이든 처음 1∼2개를 먹음으로써 얻는 만족도는 매우 클 것이지만, 과일의 양이 증가함에 따라 한계효용(즉, 과일 1개당 효용의 증가분)은 감소할 것이다. 비록 사과와 배가 1 대 1로 교환된다고 하더라도, 철수는 사과의 소비량을 1∼2개 더 늘릴 수 있다면 배 5∼6개를 포기하더라도 동일한 효용을 얻을 것이라고 생각된다. <그림 2-2>에서 (X1, Y1)으로 표시된 한 점 P를 (사과 2개, 배 10개)의 조합으로 보면, P점과 동일한 효용을 주는 점은 (사과 4개, 배 8개)를 나타내는 Q점이 아니라 (사과 4개, 배 4개)의 조합인 R점이 될 것이다.

셋째, 한 개인의 무차별곡선은 서로 교차하지 않는다. 만약 무차별곡선을 교차시켜 점 P와 R을 잇는 새로운 곡선 U2를 그린다면, U1에서 [P점의 효용≡R점의 효용]이고, U2에서 [P점의 효용≡Q점의 효용]이지만, [Q점의 효용≫R점의 효용]이 되어 모순된다.

한 개인의 무차별곡선은 등고선과 같은 형태를 띠며, 원점에서 멀어질수록 더 높은 효용수준을 나타낸다. <그림 2-3>에서 U1≪U2≪U3≪…이다.

(3) E균형의 도출

일반적으로 무차별곡선은 두 재화 X, Y를 가로축, 세로축에 표시하지만, 여기서는 Johansen이 한 것처럼 공공재 G를 가로축, 조세분담율 t를 세로축에 표시하기로 하자.

① A의 무차별곡선(여기서는 G, t의 조합)은 右下向한다. 조세분담율 t가 커지면 G의 소비를 줄이고 XA를 증가시킴으로써 동일한 효용을 얻을 수 있다.

② B의 무차별곡선은 (조세분담율이 1-t이므로) 右上向한다.

③ 최초의 상태에서 공공재 G의 양과 조세분담율 t가 F1으로 선택되어 있다면, A1과 B1이 만나 이루는 눈 모양의 안쪽에 위치한 F2는 F1보다 A, B 모두에게 더 큰 효용을 가져다준다(F2≫F1). 왜냐하면 F2 점에서 A2≫A1이고 B2≫B1이기 때문이다.

④ F1≪F2≪F3≪…는 A와 B의 무차별곡선이 서로 접하는 점 E에서 더 이상 증가하지 않는다. 예를 들어 E 점의 왼쪽에 위치한 G 점은 E보다 덜 선호된다(E≫G). 왜냐하면 G 점에서 A의 효용을 AG, B의 효용을 BG라고 하면, AG≪AE, BG≪BE이기 때문이다.

⑤ 따라서 점 E는 A와 B 모두에게 효용극대점이다. 이 점은 파레토 효율 상태, 즉 다른 사람의 효용을 감소시킴이 없이 어떤 사람의 효용을 더 이상 증가시킬 수 없는 상태이다.

⑥ E 점에서 A, B의 무차별곡선의 기울기는 같다.

⑦ E 점은 최초의 상태 A1, B1의 범위를 벗어나지 않는 범위 내에서 무수히 많이 존재할 수 있다. (AE, BE)뿐 아니라 A2, A3, …에 대해서도 성립한다.

⑧ 이 때 무수히 많은 점 E, E', E", …를 연결한 곡선을 계약곡선(contract curve)이라고 한다.

(4) E균형의 수학적 풀이

일반적으로 그래프상의 곡선의 기울기를 구하는 방법으로 미분법이 사용되고 있다. 두 개 이상 N개의 독립변수로 이루진 함수 y = f (x1, x2, …, xN)을 다변수함수라고 하고, 그 미분법으로서 편미분과 전미분의 두 가지 방법에 대해 알아보자.

▷ 편미분 - 2개 이상의 독립변수 중 단 하나의 변수에만 주목하여 그 이외는 상수로 놓아 미분하는 것.

이 때 편미분의 기호는 d 가 아니라 ∂ (라운드 디, [raundi:])를 사용한다.

▷ 전미분 - 각각의 편미분 값을 더하는 것.

▷ 합성함수의 미분법

이상 세 가지 미분법을 사용하면, 독립변수의 숫자가 2개 이상이고 각 독립변수가 상호 종속적인 함수라도 미분할 수 있다.

▷ 이제 E균형을 수학적으로 도출해 보자.

< 생 략 >




3. L균형 (Lindahl 균형)


(1) L균형의 도출

조세분담율 t가 외부의 경매인에 의해 두 소비자 A, B에게 미리 주어진 것으로 받아들여지면, GA=GB인 점 L에서 균형이 성립된다.

예를 들어 BL이 일정할 경우 조세분담율 t2에서 A의 공공재 양 G1과 B의 GL이 불일치하므로, A1≪A2≪…≪AL로 이동하여 GA=GB인 점 L에서 균형이 성립할 것이다.

(2) L균형의 수학적 풀이

< 생 략 >

결국 L균형은 각 개인에 대한 공공재와 사적 재화의 한계대체율이 각자의 조세가격과 일치하는 점에서 이루어진다고 할 수 있다.



4. E균형과 L균형의 비교


Wicksell이 제시한 E균형은 각자가 비토권을 행사한 결과 만장일치로 선호하는 점에 도달함으로써 도출되었다. 이 점에서 어떤 방향으로든지 변화가 생긴다면 최소한 한 사람 이상이 불이익을 받기 때문에, 파레토효율성의 정의에 따라 이 E점은 파레토 효율적인 점이 된다. E점은 유일한 하나의 점이 아니라 계약곡선(contract curve) 위에 존재하는 여러 균형점들 중 어느 것이라도 될 수 있다. 이런 점에서 E균형점은 で경로의존성と이라는 단점이 있다.

반면, Lindahl이 제시한 L균형은 주어진 조세분담율 t하에서 각자가 만장일치로 선호하는 공공재의 양을 나타낸다. L균형은 각 개인에 대한 공공재와 사적 재화의 한계대체율이 각자의 조세가격과 일치하는 점에서 이루어진다. 따라서 L점은 파레토 효율적(L점이 계약곡선 위에 존재)인 동시에 유일무이한 균형점이 된다.



5. 이 논의의 함의


이상 E균형과 L균형은 모두 만장일치 원칙에 의해 도출된 균형점이다. 그런데 만장일치제도는 다음과 같은 두 가지 단점을 가지고 있다.

첫째, 균형점에 도달하기까지 소요되는 시간비용이 공공재를 소비해서 얻게 되는 효용보다 더 클지도 모른다. 따라서 많은 시간을 들여 만장일치를 이루는 것보다 빠른 시간 내에 집단의 의사를 결정할 수 있는 과반수 원칙을 사용하는 것이 더 큰 효용을 가져다주는 경우가 있다.

둘째, 만장일치제도는 각 행위자의 전략적 행위(strategic behavior)에 취약하다. 이제까지 각 행위자는 자신의 선호를 진실하게 현시한다(reveal)고 가정되었으나, 실제로 각 행위자는 자신의 선호를 거짓되게 표현함으로써 더 큰 이익을 얻을 수 있다고 생각하여 전략적 행위를 할 수 있다. 대표적인 사례가 무임승차(free rider) 문제이다.

이러한 단점에도 불구하고, 각 개인의 선호를 사회의 선호로 일관되게 전환시킬 수 있는 합리적인 의사결정방법이 존재하지 않는 상황에서, 만장일치제도는 다른 어떤 투표제도보다도 구성원 전체의 의사를 모두 만족시켜줄 수 있는 가장 이상적인 제도라고 할 수 있겠다.



<부록> 뷰캐넌(Buchanan)의 클럽이론


비배제성의 원칙은 적용되지 않지만 결합공급의 특성이 존재하는 재화인 [클럽재]의 경우, 공동체의 최적 크기(N0)는 전체 인구 수(N)보다 더 작은 수준에서 결정될 것이다.

▷클럽재화의 특성

순수공공재는 비배제성과 결합공급의 특성이 존재하기 때문에, 한 명이 추가적으로 그 재화를 소비한다고 해서 다른 사람의 효용이 감소되지는 않는다. 반면, 클럽재화의 경우 소비자의 수가 일정 크기 이상에 이르렀을 때, 새로운 소비자의 증가는 혼잡을 유발함으로써 기존 소비자들의 효용을 감소시키는 결과를 가져온다.

예를 들어 수영장의 경우 초기에는 회원의 증가가 다른 회원의 효용을 감소시키지 않지만, 수영장이 수용할 수 있는 크기 이상으로 회원이 많아지게 되면 혼잡을 유발하여 다른 사람의 효용감소를 가져온다. 이 경우 수영장의 회원 수는 전체 인구 수보다 작은 적정한 수준에서 더 이상 증가하지 않을 것으로 예상된다.

그러면 적정한 회원 수는 어떠한 방법으로 찾아낼 수 있는가? 이 질문에 대해 Buchanan은 "신입회원 1명의 추가로 인한 기존 회원들의 고정비용 분담액의 절감의 한계편익(MB)과, 그로 인한 혼잡비용의 한계손실(MC)이 일치하는 점(N0)에서 최적회원수가 결정된다"고 대답하였다.

⇒이하 별도 자료 참조.
1. 클럽이론의 기하학적 풀이.
2. 클럽이론의 수학적 풀이.



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